Question

8．設函數(shù)f（x）=x³-4x+a（0＜a＜2）有三個零點x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，則下列結論正確的是（　�。�

• A． x₁＞-1
• B． x₂＜0
• C． x₃＞2
• D． 0＜x₂＜1

Answer 1

分析 判斷f（x）的單調(diào)性，得出三個零點的大致范圍，再根據(jù)函數(shù)零點的存在性定理進行判斷．

解答 解：f′（x）=3x²-4，令f′（x）=0得x=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴f（x）在（-∞，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）上單調(diào)遞增，在（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）上單調(diào)遞減，
在（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，+∞）上單調(diào)遞增．
∴f（x）在（-∞，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，+∞）上各有一個零點．
∴x₁＜-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜-1，故A錯誤；
∵f（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）＞0，f（0）=a＞0，f（1）=-3+a＜0，f（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）＜0，
∴0＜x₂＜1，故B錯誤；D正確．
∵f（2）=a＞0，
∴x₃＜2，故C錯誤．
故選D．

點評 本題考查了函數(shù)零點的存在性定理，函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬于中檔題．