Question

10．（文科答）已知數(shù)列{a_n}及等差數(shù)列{b_n}，若a₁=3，a_n=$\frac{1}{2}$a_n-1+1（n≥2），a₁=b₂，2a₃+a₂=b₄，
（1）證明數(shù)列{a_n-2}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（3）設(shè)數(shù)列{$\frac{1}{_{n}•_{n+1}}$}的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：a_n-2=$\frac{1}{2}$（a_n-1-2），a₁-2=1，數(shù)列{a_n-2}為以1為首項，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列；
（2）由a₁=b₂，即可求得b₂，2×（$\frac{1}{4}$+2）+$\frac{1}{2}$+2=b₄，求得b₄的值，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，2d=b₄-b₂=4，d=2，b_n=b₂+（n-2）d=2n-1，即可求得數(shù)列{b_n}的通項公式；
（3）由（2）可知：$\frac{1}{_{n}•_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），采用“裂項法”即可求得T_n．

解答 解：（1）證明：a_n=$\frac{1}{2}$a_n-1+1，即a_n-2=$\frac{1}{2}$（a_n-1-2），
a₁-2=1，
∴數(shù)列{a_n-2}為以1為首項，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列；
（2）∴a_n-2=（$\frac{1}{2}$）^n-1，即a_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1+2，
b₂=a₁=3，
2a₃+a₂=b₄，即2×（$\frac{1}{4}$+2）+$\frac{1}{2}$+2=b₄，
b₄=7，
2d=b₄-b₂=4，d=2，
∴b_n=b₂+（n-2）d=2n-1，
∴數(shù)列{b_n}的通項公式b_n=2n-1；
（3）$\frac{1}{_{n}•_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
數(shù)列{$\frac{1}{_{n}•_{n+1}}$}的前n項和為T_n，
T_n=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）]，
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$），
=$\frac{n}{2n+1}$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{_{n}•_{n+1}}$}的前n項和為T_n=$\frac{n}{2n+1}$．

點評 本題考查求數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列的性質(zhì)，采用“裂項法”求數(shù)列的前n項和，考查計算能力，屬于中檔題．