Question

20．已知函數(shù)f（x）=e^2ax（a∈R）的圖象C在點(diǎn)P（1，f（1））處切線的斜率為e，記奇函數(shù)g（x）=kx+b（k，b∈R，k≠0）的圖象為l．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）當(dāng)x∈（-1，2）時(shí)，圖象C恒在l的上方，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）若圖象C與l有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，其橫坐標(biāo)分別是x₁，x₂，設(shè)x₁＜x₂，求證：x₁•x₂＜1．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出b的值即可；
（2）根據(jù)?x∈（-1，2），e^x＞kx恒成立，得到關(guān)于k的不等式，記$h（x）=\frac{e^x}{x}，x∈（{-1，0}）∪（{0，2}）$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的范圍即可；
（3）要證x₁x₂＜1，即證$\sqrt{t}\frac{lnt}{t-1}＜1$，令$μ=\sqrt{t}（{μ＞1}）$，即證2μlnμ＜μ²-1⇒2μlnμ-μ²+1＜0，令φ（μ）=2μlnμ-μ²+1（μ＞1），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（1）∵f'（x）=2ae^2ax，
∴$f'（1）=2a{e^{2a}}=e⇒a=\frac{1}{2}$，…[（2分）]
∵g（x）=kx+b為奇函數(shù)，∴b=0；…[（4分）]
（2）由（1）知f（x）=e^x，g（x）=kx，…[（5分）]
因?yàn)楫?dāng)x∈（-1，2）時(shí)，圖象C恒在l的上方，
所以?x∈（-1，2），e^x＞kx恒成立，…[（6分）]
∵x=0時(shí)，k∈R，
∴$當(dāng)x≠0時(shí)，有\(zhòng)left\{\begin{array}{l}k＜\frac{e^x}{x}，x∈（{0，2}）\\ k＞\frac{e^x}{x}，x∈（{-1，0}）\end{array}\right.成立$，…[（7分）]
記$h（x）=\frac{e^x}{x}，x∈（{-1，0}）∪（{0，2}）$，
則$h'（x）=\frac{x-1}{x^2}{e^x}$，由h'（x）＞0⇒x∈（1，2），
∴h（x）在（-1，0）單調(diào)減，在（0，1]單調(diào)減，在[1，2）單調(diào)增，…[（8分）]∴$當(dāng)x∈（{-1，0}）時(shí)，h（x）∈（{-∞，-\frac{1}{e}}），當(dāng)x∈（{0，2}）時(shí)，h（x）∈[{e，+∞}）$，
∵$\left\{\begin{array}{l}k＜\frac{e^x}{x}，x∈（{0，2}）\\ k＞\frac{e^x}{x}，x∈（{-1，0}）\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}k＜e\\ k≥-\frac{1}{e}\end{array}\right.⇒k∈[{-\frac{1}{e}，e}）$，…[（9分）]
綜上，所求實(shí)數(shù)k的取值范圍是$[{-\frac{1}{e}，e}）$；…[（10分）]
（3）由（2）知0＜x₁＜1＜x₂，設(shè)x₂=tx₁（t＞1），…[（11分）]
∵${e^{x_1}}=k{x_1}，{e^{x_2}}=k{x_2}$，
∴${e^{{x_2}-{x_1}}}=\frac{x_2}{x_1}⇒{e^{（{t-1}）{x_1}}}=t$，…[（12分）]
$（{t-1}）{x_1}=lnt⇒{x_1}=\frac{lnt}{t-1}$，∴${x_1}{x_2}=tx_1^2=t{（{\frac{lnt}{t-1}}）^2}$，…[（13分）]
要證x₁x₂＜1，即證$\sqrt{t}\frac{lnt}{t-1}＜1$，令$μ=\sqrt{t}（{μ＞1}）$，
即證2μlnμ＜μ²-1⇒2μlnμ-μ²+1＜0，
令φ（μ）=2μlnμ-μ²+1（μ＞1），
即證φ（μ）＜0，$φ'（μ）=2lnμ-2μ+2⇒φ''（μ）=\frac{2}{μ}-2=\frac{{2（{1-μ}）}}{μ}$，
∵μ＞1，∴φ''（μ）＜0，∴φ'（μ）在（1，+∞）上單調(diào)減，
∴φ'（μ）＜φ'（1）=0，∴φ（μ）在（1，+∞）上單調(diào)減，
∴φ（μ）＜φ（1）=0，
所以，x₁•x₂＜1…[（16分）]

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值、奇偶性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想、換元思想，考查不等式的證明，是一道綜合題．