Question

已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2n•sin（

nπ

2

-

π

3

）+

3

ncos

nπ

2

，前n項(xiàng)和為S_n，則S₂₀₁₃=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：展開兩角差的正弦化簡，得到數(shù)列的所有偶數(shù)項(xiàng)為0，當(dāng)n為4k+1，k∈N時(shí)，a_n=n；當(dāng)n為4k+3，k∈N時(shí)，a_n=-n．分組后利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和得答案．

解答： 解：a_n=2n•sin（

nπ

2

-

π

3

）+

3

ncos

nπ

2

=2n（sin

nπ

2

•cos

π

3

-cos

nπ

2

•sin

π

3

）+

3

ncos

nπ

2

=2n(

1

2

sin

nπ

2

-

3

2

cos

nπ

2

)+

3

ncos

nπ

2

=nsin

nπ

2

．
∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a_n=0；
當(dāng)n為4k+1，k∈N時(shí)，a_n=n；
當(dāng)n為4k+3，k∈N時(shí)，a_n=-n．
則S₂₀₁₃=a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₃=（1+5+9+…+2013）-（3+7+9+…+2011）=

(1+2013)×504

2

-

(3+2011)×503

2

=1007．
故答案為：1007．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩角和與差的正弦，考查了數(shù)列的求和，關(guān)鍵是對(duì)數(shù)列的項(xiàng)的規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，是中檔題．