Question

點M到點F（4，0）的距離比它到直線l：x+6=0的距離小2．
（1）求點M的軌跡方程；
（2）若直線y=x-5與（1）中的軌跡交于A、B兩點，求線段AB的長度．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意得，點M到直線x=-4的距離和它到點（4，0）的距離相等，故點M的軌跡是以點（4，0）為焦點，以直線x=-4為準(zhǔn)線的拋物線．
（2設(shè)交點A，B的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=16x y=x-5

得：x²-26x+25=0，利用弦長公式或兩點間的距離公式，求出線段AB的長．

解答： 解：（1）由題意可知：點M到點F（4，0）的距離與它到直線l：x+4=0的距離相等，故點M的軌跡是以F為焦點的拋物線．
由

p

2

=4得p=8，所以其方程為y²=16x．
（2）法一 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則|AB|=|x₁-x₂|

1+k2

=

2

|x₁-x₂|
由

y=16x y=x-5

得：x²-26x+25=0，∴x₁+x₂=26，x₁x₂=25，
所以|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

262-4×25

=24，
于是|AB|=

2

|x₁-x₂|=24

2

．
法二 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y=16x y=x-5

得：x²-26x+25=0，解得x₁=1，x₂=25．所以A（1，-4），B（25，20），
從而|AB|=

(1-25)2+(-4-20)2

=24

2

．

點評：本題主要考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，綜合性強，是高考的重點，易錯點是知識體系不牢固．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．