Question

【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,曲線y=f(x)在點P(1,f(1))處的切線方程為y=3x+1,y=f(x)在x=-2處有極值．

(1)求f(x)的解析式．

(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值．

Answer 1

【答案】（1）f(x)=x3+2x2-4x+5.（2）最大值為13.

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)在0處的值為3，在-2處的值為0，函數(shù)在0處的值為1，列出方程組求出a，b，c的值．
（2）令導(dǎo)函數(shù)大于等于0在[-2，1]上恒成立，通過對對稱軸與區(qū)間關(guān)系的討論求出導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間的最小值，令最小值大于等于0，求出a的范圍

解：(1)f′(x)=3x2+2ax+b,f′(1)=3+2a+b.曲線y=f(x)在點P處的切線方程為y-f(1)=(3+2a+b)·(x-1), 即y-(a+b+c+1)=(3+2a+b)(x-1).

又已知該切線方程為y=3x+1,

所以即

因為y=f(x)在x=-2處有極值,所以f′(-2)=0, 所以-4a+b=-12.

解方程組得

所以f(x)=x3+2x2-4x+5.

(2)由(1)知f′(x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2).

令f′(x)=0,得x1=-2,x2=. 當x∈[-3,-2)時,f′(x)>0;

當x∈時,f′(x)<0; 當x∈時,f′(x)>0,

所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間是[-3,-2)和,單調(diào)減區(qū)間是.

因為f(1)=4,f(x)極大值=f(-2)=13,所以f(x)在區(qū)間[-3,1]上的最大值為13.