Question

（2012•大連模擬）如圖，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點O、E分別是A₁C₁、AA₁的中點，AO⊥平面A₁B₁C₁．已知∠BCA=90°，AA₁=AC=BC=2．
（Ⅰ）證明：OE∥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）求異面直線AB₁與A₁C所成的角；
（Ⅲ）求A₁C₁與平面AA₁B₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析：解法一：（Ⅰ）證明OE∥AC₁，然后證明OE∥平面AB₁C₁．
（Ⅱ）先證明A₁C⊥B₁C₁．再證明A₁C⊥平面AB₁C₁，推出異面直線AB₁與A₁C所成的角為90°．
（Ⅲ） 設(shè)點C₁到平面AA₁B₁的距離為d，通過VA-A1B1C1=VC1-AA1B1，求出A₁C₁與平面AA₁B₁所成角的正弦值

21

7

．
解法二：如圖建系O-xyz，求出A，A₁，E，C₁，B₁，C的坐標(biāo)
（Ⅰ）通過計算

OE

=-

1

2

AC1

，證明OE∥AC₁，然后證明OE∥平面AB₁C₁．
（Ⅱ）通過

AB1

•

A1C

=0，證明AB₁⊥A₁C，推出異面直線AB₁與A₁C所成的角為90°．
（Ⅲ）設(shè)A₁C₁與平面AA₁B₁所成角為θ，設(shè)平面AA₁B₁的一個法向量是

n

=(x，y，z)利用

A1B1 • n =0 A1A • n =0

推出

n

=(1，-1，

3

3

)，通過sinθ=cos＜

A1C1

，

n

＞=

2

2• 7 3

=

21

7

，求出A₁C₁與平面AA₁B₁所成角的正弦值．

解答：解法一：（Ⅰ）證明：∵點O、E分別是A₁C₁、AA₁的中點，
∴OE∥AC₁，又∵EO?平面AB₁C₁，AC₁?平面AB₁C₁，
∴OE∥平面AB₁C₁．（4分）
（Ⅱ）∵AO⊥平面A₁B₁C₁，∴AO⊥B₁C₁，又∵A₁C₁⊥B₁C₁，且A₁C₁∩AO=O，
∴B₁C₁⊥平面A₁C₁CA，∴A₁C⊥B₁C₁．（6分）
又∵AA₁=AC，∴四邊形A₁C₁CA為菱形，
∴A₁C⊥AC₁，且B₁C₁∩AC₁=C₁∴A₁C⊥平面AB₁C₁，
∴AB₁⊥A₁C，即異面直線AB₁與A₁C所成的角為90°．（8分）
（Ⅲ） 設(shè)點C₁到平面AA₁B₁的距離為d，∵VA-A1B1C1=VC1-AA1B1，
即

1

3

•

1

2

•A1C1•B1C1•AO=

1

3

•S△AA1B1•d．（10分）
又∵在△AA₁B₁中，A1B1=AB1=2

2

，∴S_△AA₁B₁=

7

．
∴d=

2 21

7

，∴A₁C₁與平面AA₁B₁所成角的正弦值

21

7

．（12分）
解法二：如圖建系O-xyz，A(0，0，

3

)，A1(0，-1，0)，E(0，-

1

2

，

3

2

)，C₁（0，1，0），B₁（2，1，0），C(0，2，

3

)．（2分）
（Ⅰ）∵

OE

=(0，-

1

2

，

3

2

)，

AC1

=(0，1，-

3

)，∴

OE

=-

1

2

AC1

，即OE∥AC₁，
又∵EO?平面AB₁C₁，AC₁?平面AB₁C₁，∴OE∥平面AB₁C₁．（6分）
（Ⅱ）∵

AB1

=(2，1，-

3

)，

A1C

=(0，3，

3

)，∴

AB1

•

A1C

=0，即∴AB₁⊥A₁C，
∴異面直線AB₁與A₁C所成的角為90°．（8分）
（Ⅲ）設(shè)A₁C₁與平面AA₁B₁所成角為θ，∵

A1C1

=(0，2，0)，

A1B1

=(2，2，0)，

A1A

=(0，1，

3

)
設(shè)平面AA₁B₁的一個法向量是

n

=(x，y，z)
則

A1B1 • n =0 A1A • n =0

即

2x+2y=0 y+ 3 z=0.

不妨令x=1，可得

n

=(1，-1，

3

3

)，（10分）
∴sinθ=cos＜

A1C1

，

n

＞=

2

2• 7 3

=

21

7

，
∴A₁C₁與平面AA₁B₁所成角的正弦值

21

7

．（12分）

點評：本題考查直線與平面平行，異面直線所成的角，直線與平面所成的角的求法，考查空間想象能力，計算能力．