Question

已知函數(shù)f（x）=sinxcosx-（1-2sin²x）（sin⁴x-cos⁴x）．
（1）求f（x）的值域；
（2）若x∈[0，π]，求方程f（x）=1的解．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）運(yùn)用二倍角的正弦和余弦公式，以及正弦函數(shù)的值域，以及二次函數(shù)的值域的求法，即可得到；
（2）化簡方程f（x）=1，得到sin2x=0或

1

2

，即有2x=kπ或2x=2kπ+

π

6

或2kπ+

5π

6

，k為整數(shù)，討論k的值，即可得到所求．

解答： 解：（1）f（x）=sinxcosx-（1-2sin²x）（sin⁴x-cos⁴x）
=

1

2

sin2x-cos2x（sin²x-cos²x）（sin²x+cos²x）
=

1

2

sin2x+cos²2x=-sin²2x+

1

2

sin2x+1
=-（sin2x-

1

4

）²+

17

16

，
由于-1≤sin2x≤1，則

1

4

∈[-1，1]，
則sin2x=

1

4

，f（x）取得最大值

17

16

；
sin2x=-1時，f（x）取得最小值-

1

2

．
則f（x）值域?yàn)椋篬-

1

2

，

17

16

]；
（2）f（x）=1即為-（sin2x-

1

4

）²+

17

16

=1，
即有sin2x-

1

4

=±

1

4

，
即有sin2x=0或

1

2

，
由于x∈[0，π]，則2x=kπ（k為整數(shù)），
即有x=0，

π

2

，π．
或2x=2kπ+

π

6

或2kπ+

5π

6

，k為整數(shù)，
則x=

π

12

，

5π

12

．
則方程的解為：x=0，

π

12

，

5π

12

，

π

2

，π．

點(diǎn)評：本題考查二倍角的正弦和余弦公式及運(yùn)用，考查正弦函數(shù)的值域以及二次函數(shù)的值域問題，考查三角函數(shù)值的求法，注意周期的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．