Question

1．已知函數(shù)f（x）=e^2x-1-2x-kx²．
（1）當(dāng)k=0時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若x≥0時(shí)，f（x）≥0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)k=0時(shí)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若x≥0時(shí)，f（x）≥0恒成立，求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，討論k的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性研究最值即可求k的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)k=0時(shí)，f（x）=e^2x-1-2x，f'（x）=2e^2x-2，…（1分）
令f'（x）＞0，則2e^2x-2＞0，解得：x＞0，
令f'（x）＜0，則2e^2x-2＜0，解得：x＜0，…（3分）
所以，函數(shù)f（x）=e^2x-1-2x的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞），
單調(diào)減區(qū)間為（-∞，0）．      …．（4分）
（2）由函數(shù)f（x）=e^2x-1-2x-kx²，
則f'（x）=2e^2x-2kx-2=2（e^2x-kx-1），
令g（x）=e^2x-kx-1，則g'（x）=2e^2x-k．  …（6分）
由x≥0，所以，
①當(dāng)k≤2時(shí)，g'（x）≥0，g（x）為增函數(shù)，而g（0）=0，
所以g（x）≥0，即f'（x）≥0，所以f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，
而f（0）=0，所以f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．    …（9分）
②當(dāng)k＞2時(shí)，令g'（x）＜0，即2e^2x-k＜0，則$0≤x＜\frac{1}{2}ln\frac{k}{2}$．
即g（x）在$[{0，\frac{1}{2}ln\frac{k}{2}}]$上為減函數(shù)，而g（0）=0，所以，g（x）在$[{0，\frac{1}{2}ln\frac{k}{2}}]$上小于0．即f'（x）＜0，
所以f（x）在$[{0，\frac{1}{2}ln\frac{k}{2}}]$上為減函數(shù)，而f（0）=0，故此時(shí)f（x）＜0，不合題意．
綜上，k≤2．  …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷以及不等式恒成立的應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行判斷是解決本題的關(guān)鍵．