Question

12．已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＜0，-π＜φ＜π）的部分圖象如圖所示．
（1）求f（x）的表達式；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間$[\frac{3π}{2}，2π]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)圖象可求周期T，利用周期公式可求ω，又$f（\frac{5π}{6}）=2$，即$sin（-\frac{3}{2}×\frac{5π}{6}+φ）=1$，結(jié)合范圍-π＜φ＜π，可求φ，即可得解f（x）的表達式．
（2）由（1）可知：$f（x）=2sin（-\frac{3}{2}x-\frac{π}{4}）=-2sin（\frac{3}{2}x+\frac{π}{4}）$，由$x∈[\frac{3π}{2}，2π]$，可求$\frac{3}{2}x+\frac{π}{4}∈[\frac{5π}{2}，\frac{13π}{4}]$，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．

解答 解：（1）∵由題意可得：$\frac{3}{4}•\frac{2π}{|ω|}=\frac{5π}{6}-（-\frac{π}{6}）$（ω＜0），
∴$ω=-\frac{3}{2}$，
∴$f（x）=2sin（-\frac{3}{2}x+φ）$，
又∵$f（\frac{5π}{6}）=2$，即$sin（-\frac{3}{2}×\frac{5π}{6}+φ）=1$，
而-π＜φ＜π，
∴故$φ=-\frac{π}{4}$，
∴$f（x）=2sin（-\frac{3}{2}x-\frac{π}{4}）$．
（2）∵由（1）可知：$f（x）=2sin（-\frac{3}{2}x-\frac{π}{4}）=-2sin（\frac{3}{2}x+\frac{π}{4}）$，
∵由$x∈[\frac{3π}{2}，2π]$，則$\frac{3}{2}x+\frac{π}{4}∈[\frac{5π}{2}，\frac{13π}{4}]$，
∴最大值為$\sqrt{2}$，最小值為-2．

點評 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．