Question

7．已知向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$滿足$|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}$|=2，且（$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$）•（$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$）=-2，則向量$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 由向量的平方即為模的平方，可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2，再由向量的夾角公式，計算即可得到所求值．

解答 解：由$|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}$|=2，且（$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$）•（$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$）=-2，
可得$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-2$\overrightarrow$²=-2，
即為4+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-8=-2，
解得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2，
即有cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{2}{2×2}$=$\frac{1}{2}$，
由0≤＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞≤π，
可得＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{π}{3}$．
故答案為：$\frac{π}{3}$．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，主要是向量的平方即為模的平方，同時考查向量的夾角公式，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．