Question

【題目】已知圓和橢圓， 是橢圓的左焦點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的離心率和點(diǎn)的坐標(biāo)；

（Ⅱ）點(diǎn)在橢圓上，過作軸的垂線，交圓于點(diǎn)（不重合），是過點(diǎn)的圓的切線．圓的圓心為點(diǎn)，半徑長為．試判斷直線與圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）見解析．

【解析】試題分析：（Ⅰ）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，可得，所以橢圓的離心率，橢圓的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為；（Ⅱ） 設(shè)，其中，則，可設(shè)，則，由點(diǎn)斜式可得直線的方程為，圓的圓心到直線的距離．利用兩點(diǎn)間距離公式求得，即 ，從而可得直線與圓相切．

試題解析：（Ⅰ）由題意，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

所以， ，從而．

因此， ．

故橢圓的離心率．

橢圓的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（Ⅱ）直線與圓相切．證明如下：

設(shè)，其中，則，

依題意可設(shè)，則．

直線的方程為，

整理為 ．

所以圓的圓心到直線的距離．

因為．

所以，

即 ，

所以 直線與圓相切．