Question

【題目】某投資人欲將5百萬(wàn)元資金投人甲、乙兩種理財(cái)產(chǎn)品，根據(jù)銀行預(yù)測(cè)，甲、乙兩種理財(cái)產(chǎn)品的收益與投入資金的關(guān)系式分別為，，其中為常數(shù)且．設(shè)對(duì)乙種產(chǎn)品投入資金百萬(wàn)元．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，如何進(jìn)行投資才能使得總收益最大；（總收益）

（Ⅱ）銀行為了吸儲(chǔ)，考慮到投資人的收益，無(wú)論投資人資金如何分配，要使得總收益不低于0.45百萬(wàn)元，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）甲種產(chǎn)品投資4百萬(wàn)元，乙種產(chǎn)品投資1百萬(wàn)元時(shí)，總收益最大（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)求出總收益的解析式，結(jié)合一元二次函數(shù)最值性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

（Ⅱ）根據(jù)題意可知對(duì)任意恒成立，將問題轉(zhuǎn)化為即對(duì)任意恒成立，再利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立求解．

（Ⅰ）設(shè)對(duì)乙種產(chǎn)品投入資金百萬(wàn)元，則對(duì)甲種產(chǎn)品投入資金百萬(wàn)元

當(dāng)時(shí)，，

令，則，

，其圖象的對(duì)稱軸，

∴當(dāng)時(shí)，總收益有最大值，此時(shí)，．

即甲種產(chǎn)品投資4百萬(wàn)元，乙種產(chǎn)品投資1百萬(wàn)元時(shí)，總收益最大

（Ⅱ）由題意知對(duì)任意恒成立，

即對(duì)任意恒成立，

令，

設(shè)，則，

則，其圖象的對(duì)稱軸為，

①當(dāng)，即時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

且，

∴，得，又，

∴，

②當(dāng)，即時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

且，可得，符合題意，

∴

③當(dāng)，即時(shí)，易知在單調(diào)遞增，

可得恒成立，，

綜上可得．

∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．