Question

12．如圖，在三棱錐V-ABC中，三角形VAB為等邊三角形，AC⊥BC，且AC=BC=$\sqrt{2}$，VC=2，點O，M分別為AB，VA的中點．
（1）證明：VB∥平面MOC；   
（2）求三棱錐V-ABC的體積．

Answer 1

分析 （1）由中位線定理得OM∥VB，故而VB∥平面MOC；
（2）連接VO，證明VO⊥平面ABC，于是V_V-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•VO$．

解答 證明：（1）∵O，M分別是AB，AV的中點，
∴OM∥VB，
又OM?平面MOC，VB?平面MOC，
∴VB∥平面MOC．
解：（2）連接OV．
∵AC⊥BC，AC=BC=$\sqrt{2}$，
∴AB⊥OC，AB=2，OC=1．
∵△VAB為等邊三角形，
∴VO⊥AB，VO=$\sqrt{3}$．
∵VC=2，
∴VO²+OC²=VC²，
∴VO⊥OC．
又AB?平面ABC，OC?平面ABC，AB∩OC=C，
∴VO⊥平面ABC．
∴V_V-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•VO$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了線面平行的判定，線面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．