Question

2．設(shè)F為拋物線y²=2px（p＞0）的焦點，點A、B、C在此拋物線上，若$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow 0$，則|$\overrightarrow{FA}$|+|$\overrightarrow{FB}$|+|$\overrightarrow{FC}$|=3p．

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），求出$\overrightarrow{FA}$，$\overrightarrow{FB}$，$\overrightarrow{FC}$的坐標(biāo)，得出x₁+x₂+x₃，根據(jù)拋物線的性質(zhì)得出三點到準(zhǔn)線的距離之和即為|$\overrightarrow{FA}$|+|$\overrightarrow{FB}$|+|$\overrightarrow{FC}$|．

解答 解：拋物線焦點坐標(biāo)為（$\frac{p}{2}$，0），準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{p}{2}$．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），則$\overrightarrow{FA}$=（x₁-$\frac{p}{2}$，y₁），$\overrightarrow{FB}$=（x₂-$\frac{p}{2}$，y₂），$\overrightarrow{FC}$=（x₃-$\frac{p}{2}$，y₃）．
∵$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow 0$，∴x₁+x₂+x₃-$\frac{3p}{2}$=0，即x₁+x₂+x₃=$\frac{3p}{2}$．
∵|$\overrightarrow{FA}$|=x₁+$\frac{p}{2}$，|$\overrightarrow{FB}$|=x₂+$\frac{p}{2}$，|$\overrightarrow{FC}$|=x₃+$\frac{p}{2}$．
∴|$\overrightarrow{FA}$|+|$\overrightarrow{FB}$|+|$\overrightarrow{FC}$|=x₁+x₂+x₃+$\frac{3p}{2}$=3p．
故答案為：3p．

點評 本題考查了拋物線的簡單性質(zhì)，屬于中檔題．