Question

在平面直角坐標(biāo)系中，定義d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|為兩點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）之間的“折線距離”．則坐標(biāo)原點O與直線2x+y-2

5

=0上一點的“折線距離”的最小值是

 

；圓x²+y²=1上一點與直線2x+y-2

5

=0上一點的“折線距離”的最小值是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)新定義直接求出d（A，O）；求出過O與直線 2x+y-2

5

=0的點坐標(biāo)的“折線距離”的表達(dá)式，然后求出最小值；F為圓上任意一點，過P、F分別作x、y軸的垂線交于點Q，延長FQ交直線于點Q'，將F看作定點，由問題1知P與F的最小“折線距離”為|FQ'|，即可求出結(jié)果．

解答：解：如圖1，直線與兩軸的交點分別為N(0，2

5

)，M(

5

，0)，設(shè)P（x，y）
為直線上任意一點，作PQ⊥x軸于Q，于是有|PQ|=2|QM|，
所以d=|OQ|+|QP|≥|OQ|+|QM|≥|OM|，即當(dāng)P與M重合時，dmin=|OM|=

5

如圖2，設(shè)F為圓上任意一點，過P、F分別作x、y軸的垂線交于點Q，延長FQ交直線于點Q'，將F看作定點，由問題1知P與F的最小“折線距離”為|FQ'|，設(shè)F的縱坐標(biāo)為m，則dmin=|FQ′|min，|FQ′|=

2 5 -m

2

-

1-m2

=

5

-

m+2 1-m2

2

，顯然只需要考慮m∈[0，1]，設(shè)m=sinθ(θ∈[0，

π

2

])，|FQ′|=

5

-

5 sin(θ+φ)

2

，其中cosφ=

1

5

，sinφ=

2

5

，所以當(dāng)sinθ=

1

5

，cosθ=

2

5

時，dmin=|FQ′|min=

5

2

故答案為：

5

，

5

2

．

點評：本題是中檔題，考查新定義，利用新定義求出函數(shù)的最小值問題，考查計算能力，對新定義的理解和靈活運應(yīng)是解好本題的關(guān)鍵．