Question

2．強(qiáng)度分別為a，b的兩個(gè)光源A，B間的距離為d．已知照度與光的強(qiáng)度成正比，與光源距離的平方成反比，比例系數(shù)為k（k＞0，k為常數(shù)）．線段AB上有一點(diǎn)P，設(shè)AP=x，P點(diǎn)處總照度為y．試就a=8，b=1，d=3時(shí)回答下列問題．（注：P點(diǎn)處的總照度為P受A，B光源的照度之和）
（1）試將y表示成關(guān)于x的函數(shù)，并寫出其定義域；
（2）問：x為何值時(shí)，P點(diǎn)處的總照度最�。�

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)題意先表示出點(diǎn)P受光源A的照度和受光源B的照度再根據(jù)光源A與光源B在點(diǎn)P產(chǎn)生相等的照度建立方程，即可求點(diǎn)P的“總照度”I（x）的函數(shù)表達(dá)式；
（2）利用導(dǎo)數(shù)先研究函數(shù)的極值，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值即可．

解答 解：（1）由題意知，若a=8，b=1，d=3，則點(diǎn)P受光源A的照度為k•$\frac{8}{{x}^{2}}$，
受光源B的照度為k•$\frac{1}{（3-x）^{2}}$；
點(diǎn)P的“總照度”I（x）=k•$\frac{8}{{x}^{2}}$+k•$\frac{1}{（3-x）^{2}}$，（0＜x＜3）；
（2）I′（x）=k•[-$\frac{16}{{x}^{3}}$+$\frac{2}{（3-x）^{3}}$]=k•$\frac{18（x-2）（{x}^{2}-6x+12）}{{x}^{3}（3-x）^{3}}$，
令I(lǐng)′（x）=0，解得：x=2，
列表：

x	（0，2）	2	（2，3）
I′（x）	-	0	+
I（x）	減	極小值	增

因此，當(dāng)x=2時(shí)，P處的總照度最小且為3k．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，同時(shí)考查了函數(shù)的最值的求解，導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)最值是常用的方法，屬于中檔題．