Question

11．設點P為等邊△ABC所在平面內的一點，滿足$\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CB}+2\overrightarrow{CA}$，若AB=2，則$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的值是12．

Answer 1

分析 利用平面向量的三角形法則以及數(shù)量積的運算，將$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$用等邊三角形對應邊的向量表示，展開計算數(shù)量積即可．

解答 解：由題意，如圖，△ABC為等邊三角形，$\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CB}+2\overrightarrow{CA}$，AB=2，
所以$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=$（\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DA}）（\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CB}）$=$（\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}）$$（\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}）$
=$（\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}）•2\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AC}+2{\overrightarrow{AC}}^{2}$
=$2×2×2×\frac{1}{2}+2×{2}^{2}$=12；
故答案為：12．

點評 本題考查了平面向量的三角形法則以及數(shù)量積的運算；關鍵是正確將所求轉化為等邊三角形邊對應的向量為基底，進行計算．