Question

11．設(shè)點(diǎn)P為等邊△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足$\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CB}+2\overrightarrow{CA}$，若AB=2，則$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的值是12．

Answer 1

分析 利用平面向量的三角形法則以及數(shù)量積的運(yùn)算，將$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$用等邊三角形對(duì)應(yīng)邊的向量表示，展開計(jì)算數(shù)量積即可．

解答 解：由題意，如圖，△ABC為等邊三角形，$\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CB}+2\overrightarrow{CA}$，AB=2，
所以$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=$（\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DA}）（\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CB}）$=$（\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}）$$（\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}）$
=$（\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}）•2\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AC}+2{\overrightarrow{AC}}^{2}$
=$2×2×2×\frac{1}{2}+2×{2}^{2}$=12；
故答案為：12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的三角形法則以及數(shù)量積的運(yùn)算；關(guān)鍵是正確將所求轉(zhuǎn)化為等邊三角形邊對(duì)應(yīng)的向量為基底，進(jìn)行計(jì)算．