Question

17．已知函數(shù)f（x）=log_a|x+1|（a＞0且a≠1），當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，恒有f（x）＜0成立，則函數(shù)g（x）=log_a（-$\frac{3}{2}$x²+ax）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，$\frac{a}{3}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，|x+1|＞1，但log_a|x+1|＜0，故由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象知，0＜a＜1．恒有f（x）＜0成立，由-$\frac{3}{2}$x²+ax＞0，解得0＜x＜$\frac{2}{3}$a，在根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可得到答案．

解答 解：由題意：當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，|x+1|＞1，但log_a|x+1|＜0，故由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象知，0＜a＜1；
∵對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)要大于0，即-$\frac{3}{2}$x²+ax＞0，解得：0＜x＜$\frac{2}{3}$a，
令t=-$\frac{3}{2}$x²+ax，開(kāi)口向下，對(duì)稱軸x=$\frac{a}{3}$，
當(dāng)x在（0，$\frac{a}{3}$]時(shí)增函數(shù)，x在[$\frac{a}{3}$，$\frac{2a}{3}$）時(shí)減函數(shù)．
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”可得：
x∈（0，1）時(shí)，恒有f（x）＜0成立時(shí)，函數(shù)g（x）=log_a（-$\frac{3}{2}$x²+ax）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，$\frac{a}{3}$]．
故答案為：（0，$\frac{a}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．屬于中檔題．