Question

8．已知F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點，Q為橢圓C上的一點，且△QF₁O（O為坐標原點）為正三角形，若射線QF₁與橢圓交于點P，則△QF₁F₂與△PF₁F₂的面積的比值是$\frac{3+2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 作圖，結(jié)合圖象可得c+$\sqrt{3}c$=2a，從而可得橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{2+\sqrt{3}}{2}{c}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}{c}^{2}}$=1，再直線方程聯(lián)立消元可得$\frac{6+4\sqrt{3}}{3}$y²-2cy-$\frac{3}{2}$c²=0，從而可得點Q的縱坐標為$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，點P的縱坐標為-$\frac{3\sqrt{3}c}{6+4\sqrt{3}}$，從而解得．

解答 解：由題意作圖如右圖，
∵△QF₁O（O為坐標原點）為正三角形，
∴△QF₁F₂是直角三角形，
∴c+$\sqrt{3}c$=2a，
∴a=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$c，b²=a²-c²=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c²，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{2+\sqrt{3}}{2}{c}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}{c}^{2}}$=1，
設(shè)直線PQ的方程為y=$\sqrt{3}$（x+c），
故x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$y-c，
代入消x化簡可得，
$\frac{6+4\sqrt{3}}{3}$y²-2cy-$\frac{3}{2}$c²=0，
即（y-$\frac{\sqrt{3}}{2}$c）（$\frac{6+4\sqrt{3}}{3}$y+$\sqrt{3}c$）=0，
故點Q的縱坐標為$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，點P的縱坐標為-$\frac{3\sqrt{3}c}{6+4\sqrt{3}}$，
故△QF₁F₂與△PF₁F₂的面積的比值為$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}c}{\frac{3\sqrt{3}c}{6+4\sqrt{3}}}$=$\frac{3+2\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：$\frac{3+2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了圓錐曲線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用，屬于中檔題．