Question

已知x，y∈R⁺，x²+

y2

2

=1，則

1

2

x

1+y2

的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：根據(jù)橢圓的方程可設(shè) x=cosθ、y=2sinθ，代入式子

1

2

x

1+y2

化簡(jiǎn)后，根據(jù)基本不等式和平方關(guān)系求出式子的最大值．

解答： 解：由題意得，x，y∈R⁺，x²+

y2

2

=1，則設(shè)x=cosθ＞0，y=

2

sinθ＞0，
所以

1

2

x

1+y2

=

1

2

x2(1+y2)

=

1

2

cos2θ(1+2sin2θ)

=

1

2

1 2 ×2cos2θ(1+2sin2θ)

≤

1

2

×

1 2

×

2cos2θ+1+2sin2θ

2

=

1

2

×

1

2

×

3

2

=

3 2

8

，
當(dāng)且僅當(dāng)2cos²θ=1+2sin²θ時(shí)取等號(hào)，此時(shí)sinθ=

3

2

，
所以

1

2

x

1+y2

的最大值為：

3 2

8

，
故答案為：

3 2

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的參數(shù)方程，以及基本不等式求最值問(wèn)題，關(guān)鍵是變形后利用平方關(guān)系得到和為定值．