Question

12．若x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[-1.5]=2，[5.1]=5，設(shè){x}=x-[x]，則對函數(shù)f（x）={x}，下列說法正確的是①②④
①定義域是R，值域為[0，1）；
②它是以1為周期的周期函數(shù)；
③若方程f（x）=kx+k有三個不同的根，則實數(shù)k的取值范圍是（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{4}$]∪[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$）；
④若n≤x₁≤x₂＜n+1（n∈Z），則f（x₁）≤f（x₂）．

Answer 1

分析 根據(jù)[x]的定義，結(jié)合f（x）的解析式，利用當(dāng)n≤x＜n+1時，f（x）=x-n這一特征分別進行判斷即可．

解答 解：①函數(shù)f（x）定義域為R，假設(shè)n≤x＜n+1，則f（x）=x-n∈[0，1），即①正確；
②假設(shè)n≤x＜n+1，n+1≤x＜n+2（n∈Z），則f（x）=x-n，f（x+1）=x+1-n-1=x-n，即f（x）=f（x+1），②正確；
③方程f（x）=kx+k有三個不同的根，即函數(shù)f（x）的圖象與直線y=kx+k有三個不同交點，結(jié)合圖象可知，k的取值范圍應(yīng)為$（-1，-\frac{1}{2}]∪[\frac{1}{4}，\frac{1}{3}）$，即③錯誤；
④若n≤x₁≤x₂＜n+1（n∈Z），則f（x₁）=x₁-n，f（x₂）=x₂-n，故f（x₁）≤f（x₂），④正確．
故答案為：①②④

點評 本題主要考查命題的真假判斷，利用[x]的意義，利用當(dāng)n≤x＜n+1時，f（x）=x-n這一特征是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，有一定的難度．