Question

12．如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為雙曲線C的左右焦點，且|F₁F₂|=2．若雙曲線C的右支上存在點P，使得PF₁⊥PF₂．設(shè)直線PF₂與y軸交于點A，且△APF₁的內(nèi)切圓半徑為$\frac{1}{2}$，則雙曲線C的離心率為（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 本題先根據(jù)直角三角形內(nèi)切圓半徑得到邊長的關(guān)系，結(jié)合雙曲線定義和圖形的對稱性，求出a的值，由|F₁F₂|=2，求出c的值，從而得到雙曲線的離心率，得到本題結(jié)論．

解答 解：由PF₁⊥PF₂，△APF₁的內(nèi)切圓半徑為$\frac{1}{2}$，
由圓的切線的性質(zhì)：圓外一點引圓的切線所得切線長相等，
可得|PF₁|+|PA|-|AF₁|=2r=1，
由雙曲線的定義可得|PF₂|+2a+|PA|-|AF₁|=1，
可得|AF₂|-|AF₁|=1-2a，
由圖形的對稱性知：|AF₂|=|AF₁|，
即有a=$\frac{1}{2}$．
又|F₁F₂|=2，
可得c=1，
則e=$\frac{c}{a}$=2．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用雙曲線的定義、圓的切線的性質(zhì)，以及圖形的對稱性，考查運算能力，屬于中檔題．