Question

3．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點（$\sqrt{2}$，1），離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，直線l：y=k（x+1）與橢圓C相交于不同的兩點A，B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）在x軸上是否存在點M，使$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$+$\frac{5}{3{k}^{2}+1}$是與k無關(guān)的常數(shù)？若存在，求出點M的坐標(biāo)，并求出此常數(shù)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的離心率公式，將點（$\sqrt{2}$，1）代入橢圓方程，求得橢圓的a，b，即可求橢圓的方程；
（2）假設(shè)存在點M符合題意，設(shè)AB為y=k（x+1），代入橢圓方程可得關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，0），利用韋達定理，向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，由恒成立思想，建立方程組，即可求得結(jié)論．

解答 解：（1）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
點（$\sqrt{2}$，1）代入橢圓方程，可得$\frac{2}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=1，
又a²-b²=c²，
解得a=$\sqrt{5}$，b=$\frac{\sqrt{15}}{3}$，
則橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{5}{3}}$=1，
即x²+3y²=5；
（2）在x軸上存在點M（$\frac{1}{6}$，0），使$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$+$\frac{5}{3{k}^{2}+1}$是與k無關(guān)的常數(shù)．
證明：假設(shè)在x軸上存在點M（m，0），使$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$+$\frac{5}{3{k}^{2}+1}$是與k無關(guān)的常數(shù)，
將直線l的方程y=k（x+1），代入橢圓方程x²+3y²=5，
得（3k²+1）x²+6k²x+3k²-5=0；
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，0），
則x₁+x₂=-$\frac{6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{k}^{2}-5}{1+3{k}^{2}}$，
由$\overrightarrow{MA}$=（x₁-m，y₁），$\overrightarrow{MB}$=（x₂-m，y₂），
可得$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$+$\frac{5}{3{k}^{2}+1}$=（x₁-m）（x₂-m）+y₁y₂+$\frac{5}{3{k}^{2}+1}$
=（x₁-m）（x₂-m）+k²（x₁+1）（x₂+1）+$\frac{5}{3{k}^{2}+1}$
=（k²+1）x₁x₂+（k²-m）（x₁+x₂）+k²+m²+$\frac{5}{3{k}^{2}+1}$
=（k²+1）•$\frac{3{k}^{2}-5}{1+3{k}^{2}}$，+（k²-m）（-$\frac{6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$）+k²+m²+$\frac{5}{3{k}^{2}+1}$
=$\frac{-{k}^{2}+6m{k}^{2}+3{m}^{2}{k}^{2}+{m}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，
設(shè)常數(shù)為t，則$\frac{-{k}^{2}+6m{k}^{2}+3{m}^{2}{k}^{2}+{m}^{2}}{1+3{k}^{2}}$=t，
整理得（3m²+6m-1-3t）k²+m²-t=0對任意的k恒成立，
即有$\left\{\begin{array}{l}{3{m}^{2}+6m-1-3t=0}\\{{m}^{2}-t=0}\end{array}\right.$，解得m=$\frac{1}{6}$，
即在x軸上存在點M（$\frac{1}{6}$，0），使$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$+$\frac{5}{3{k}^{2}+1}$是與k無關(guān)的常數(shù)．

點評 本題考查橢圓方程的求法，注意運用橢圓的離心率公式和點滿足橢圓方程，考查直線與橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理，也考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查了一定的計算能力，屬于中檔題．