Question

19．已知不等式組為$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{y≥x}\\{y≤2-x}\end{array}\right.$，問：
（Ⅰ）點（x，y）滿足不等式，求：
（1）z=3^x+2y的最大值；
（2）z=|4x+3y+1|的最大值；
（3）z=（x+1）²+（y+1）²的最大值；
（4）z=$\frac{2y}{3x+9}$的最大值；
（5）z=$\frac{{x}^{2}-{y}^{2}}{xy}$的最小值；
（6）z=x-y+|x+2y+3|的最大值．
（Ⅱ）點（a+b，a-b）滿足不等式，求2a+b的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先畫出約束條件$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{y≥x}\\{y≤2-x}\end{array}\right.$的可行域，再求出可行域中各角點的坐標，
（1）求出x+2y的最大值，然后求解z=3^x+2y的最大值；
（2）利用|4x+3y+1|的幾何意義，求解目標函數(shù)的最大值；
（3）利用（x+1）²+（y+1）²的幾何意義求解最大值；
（4）z=$\frac{2y}{3x+9}$的幾何意義求解表達式的最大值；
（5）化簡z=$\frac{{x}^{2}-{y}^{2}}{xy}$的形式，通過直線的斜率求解表達式的最小值；
（6）化簡z=x-y+|x+2y+3|的形式，利用幾何意義求解最大值．
（Ⅱ）點（a+b，a-b）滿足不等式，點的可行域，然后求2a+b的最大值．

解答 解：（Ⅰ）
（1）約束條件不等式組$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{y≥x}\\{y≤2-x}\end{array}\right.$的可行域如下圖示：

A（1，1）；B（2，0），O（0，0）
由圖易得目標函數(shù)z=3^x+2y的最大值在A（1，1）處取得，z=3^x+2y的最大值為：3¹⁺²=27．
（2）z=|4x+3y+1|的最大值，就是可行域內的點到直線4x+3y+1=0距離的5倍，

由圖形可知B到直線4x+3y+1=0距離最大，
此時Z=|4x+3y+1|=9．
（3）z=（x+1）²+（y+1）²的幾何意義是：可行域內的點與（-1，-1）距離的平方，易知B到（-1，-1）的距離最大，此時：Z=（2+1）²+（0+1）²=10．
（4）z=$\frac{2y}{3x+9}$=$\frac{2}{3}•\frac{y}{x+3}$的幾何意義是可行域內的點與（-3，0）連線的斜率的$\frac{2}{3}$倍，
由圖形可知，A與（-3，0）連線的斜率最大，可得：z=$\frac{2}{3+9}=\frac{1}{6}$；
（5）z=$\frac{{x}^{2}-{y}^{2}}{xy}$=$\frac{x}{y}$-$\frac{y}{x}$，$\frac{y}{x}$表示可行域的點與原點連線的斜率，$\frac{y}{x}$∈[0，1]，-$\frac{y}{x}$∈[-1，0]，$\frac{x}{y}$∈[1，+∞），
z=$\frac{{x}^{2}-{y}^{2}}{xy}$∈[0，+∞）．z=$\frac{{x}^{2}-{y}^{2}}{xy}$的最小值的最小值為：0；
（6）z=x-y+|x+2y+3|=2x+y+3，平移直線2x+y+3=t，
當直線經過可行域的B點時，z取得最大值2×2+0+3=7．
（Ⅱ）點（a+b，a-b）滿足不等式，可得：$\left\{\begin{array}{l}{0≤a+b≤2}\\{0≤a-b≤2}\end{array}\right.$，
不等式組：$\left\{\begin{array}{l}{0≤a+b≤2}\\{0≤a-b≤2}\end{array}\right.$，的可行域為：

z=2a+b經過可行域的A點時，z取得最大值為：2×2+2=6．

點評 在解決線性規(guī)劃的小題時，我們常用“角點法”，其步驟為：①由約束條件畫出可行域⇒②求出可行域各個角點的坐標⇒③將坐標逐一代入目標函數(shù)⇒④驗證，求出最優(yōu)解．利用表達式的幾何意義求解表達式的最值是解題的關鍵．