Question

已知函數(shù)。

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若在區(qū)間上的最小值為e，求k的值。

 

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，和是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間。（2）；

【解析】

試題分析：（1）求單調(diào)區(qū)間要求導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0得增區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)小于0得減區(qū)間，對(duì)于含參數(shù)的要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，本題求導(dǎo)函數(shù)得中要把分、、三種情況進(jìn)行討論；（2）利用（1）問中求得的單調(diào)區(qū)間求最值，在求最值的時(shí)候要對(duì)的范圍進(jìn)一步的討論，在區(qū)間進(jìn)行分類討論。

試題解析：【解析】
（1）。 3分

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在R上是增函數(shù)。

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間和上，函數(shù)在R上是增函數(shù)。 5分

當(dāng)時(shí)，解，得，或。解，得。

所以函數(shù)在區(qū)間和上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)。

綜上，當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，和是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間。7分

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在R上是增函數(shù)，

所以在區(qū)間上的最小值為，

依題意，，解得，符合題意。 8分

當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)。

所以在區(qū)間上的最小值為，

解，得，不符合題意。 9分

當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)。

所以在區(qū)間上的最小值為， 10分

解，即，

設(shè)， 11分

，則在區(qū)間上，在區(qū)間上，

所以在區(qū)間上的最小值為， 12分

又， 13分

所以在區(qū)間上無解，

所以在區(qū)間上無解， 14分

綜上，。

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性及最值問題；