A. | $\frac{1}{3}$ | B. | $\frac{1}{6}$ | C. | $\frac{1}{12}$ | D. | $\frac{1}{24}$ |
分析 要滿(mǎn)足一高為$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$的長(zhǎng)方體能在該正四面體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng),則長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)不超過(guò)正四面體的內(nèi)切球的直徑.利用正四面體的性質(zhì)可得內(nèi)切球的半徑,利用長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)與內(nèi)切球的直徑的關(guān)系、基本不等式的性質(zhì)即可得出.
解答 解:設(shè)正四面體S-ABCD如圖所示.
可得它的內(nèi)切球的球心0必定在高線(xiàn)SH上,
延長(zhǎng)AH交BC于點(diǎn)D,則D為BC的中點(diǎn),連接SD,
則內(nèi)切球切SD于點(diǎn)E,連接AO.
∵H是正三角形ABC的中心,
∴AH:HD=2:1,
∵Rt△0AH∽R(shí)t△DSH,
∴$\frac{OA}{OH}=\frac{DS}{DH}$=3,可得OA=30H=S0
因此,SH=4OH,可得內(nèi)切球的半徑R=OH=$\frac{1}{4}$SH.
∵正四面體棱長(zhǎng)為1,
∴Rt△SHD中,SD=$\sqrt{S{H}^{2}+H{D}^{2}}$=,$\sqrt{(4R)^{2}+(\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,解得R2=$\frac{1}{24}$.
要滿(mǎn)足一高為$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$的長(zhǎng)方體能在該正四面體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng),
則長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)不超過(guò)正四面體的內(nèi)切球的直徑,
設(shè)該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)和寬分別為x,y,
該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)和寬形成的長(zhǎng)方形面積為S.
∴4R2≥$(\frac{\sqrt{3}}{6})^{2}$+x2+y2,
∴x2+y2≤$\frac{1}{12}$,
∴S=xy≤$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$=$\frac{1}{24}$.
故選:D.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了正四面體的性質(zhì)、勾股定理、正三角形的性質(zhì)、長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)與其外接球的直徑之間的關(guān)系,考查了空間想象能力、推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
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A. | a<b | B. | a=b | C. | a>b | D. | a≠b |
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A. | $\sqrt{2}$ | B. | 2$\sqrt{2}$ | C. | 3$\sqrt{2}$ | D. | 4$\sqrt{2}$ |
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A. | 第6項(xiàng) | B. | 第7項(xiàng) | C. | 第11項(xiàng) | D. | 第19項(xiàng) |
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