1.已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1,如果一高為$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$的長(zhǎng)方體能在該正四面體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng),則該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)和寬形成的長(zhǎng)方形面積的最大值為( 。
A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{1}{6}$C.$\frac{1}{12}$D.$\frac{1}{24}$

分析 要滿(mǎn)足一高為$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$的長(zhǎng)方體能在該正四面體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng),則長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)不超過(guò)正四面體的內(nèi)切球的直徑.利用正四面體的性質(zhì)可得內(nèi)切球的半徑,利用長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)與內(nèi)切球的直徑的關(guān)系、基本不等式的性質(zhì)即可得出.

解答 解:設(shè)正四面體S-ABCD如圖所示
可得它的內(nèi)切球的球心0必定在高線(xiàn)SH上,
延長(zhǎng)AH交BC于點(diǎn)D,則D為BC的中點(diǎn),連接SD,
則內(nèi)切球切SD于點(diǎn)E,連接AO.
∵H是正三角形ABC的中心,
∴AH:HD=2:1,
∵Rt△0AH∽R(shí)t△DSH,
∴$\frac{OA}{OH}=\frac{DS}{DH}$=3,可得OA=30H=S0
因此,SH=4OH,可得內(nèi)切球的半徑R=OH=$\frac{1}{4}$SH.
∵正四面體棱長(zhǎng)為1,
∴Rt△SHD中,SD=$\sqrt{S{H}^{2}+H{D}^{2}}$=,$\sqrt{(4R)^{2}+(\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,解得R2=$\frac{1}{24}$.
要滿(mǎn)足一高為$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$的長(zhǎng)方體能在該正四面體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng),
則長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)不超過(guò)正四面體的內(nèi)切球的直徑,
設(shè)該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)和寬分別為x,y,
該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)和寬形成的長(zhǎng)方形面積為S.
∴4R2≥$(\frac{\sqrt{3}}{6})^{2}$+x2+y2,
∴x2+y2≤$\frac{1}{12}$,
∴S=xy≤$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$=$\frac{1}{24}$.
故選:D.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正四面體的性質(zhì)、勾股定理、正三角形的性質(zhì)、長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)與其外接球的直徑之間的關(guān)系,考查了空間想象能力、推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

19.在邊長(zhǎng)為4cm的正方形ABCD中,E,F(xiàn)分別為BC,CD的中點(diǎn),M,N分別為AB,CF的中點(diǎn),現(xiàn)沿AE,AF,EF折疊,使B,C,D三點(diǎn)重合,重合后的點(diǎn)記為B,構(gòu)成一個(gè)三棱錐,則MN與平面AEF的位置關(guān)系是MN∥平面AEF.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

12.已知曲線(xiàn)C的參數(shù)方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}$(θ為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,A、B的極坐標(biāo)分別為A(2,π)、B(2,$\frac{4π}{3}$).
(1)求直線(xiàn)AB的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)M為曲線(xiàn)C上的動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)M到直線(xiàn)AB距離的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

9.解不等式:$\sqrt{-{x}^{2}+4x-3}$<1.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

16.若函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{a+b{x}^{2},x≤0}\\{ln(1+bx)^{\frac{1}{x},x>0}}\end{array}\right.$,在x=0處連續(xù),則常數(shù)a,b應(yīng)滿(mǎn)足( 。
A.a<bB.a=bC.a>bD.a≠b

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

6.下列各組式子是否表示同一函數(shù),為什么?
(1)f(x)=|x|,φ(t)=$\sqrt{{t}^{2}}$;
(2)y=$\sqrt{{x}^{2}}$,y=($\sqrt{x}$)2
(3)y=$\sqrt{x+1}$•$\sqrt{x-1}$,y=$\sqrt{{x}^{2}-1}$;
(4)y=$\sqrt{1+x}$•$\sqrt{1-x}$,y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

13.已知c>0.設(shè)命題p:函數(shù)y=cx為減函數(shù);命題q:當(dāng)x∈[$\frac{1}{2}$,2]時(shí),函數(shù)f(x)=x+$\frac{1}{x}$>$\frac{1}{c}$恒成立.如果p∨q為真命題,(¬p)∨(¬q)也為真命題,求c的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

10.已知向量$\overrightarrow{O{P}_{1}}$=(cosθ,sinθ),$\overrightarrow{O{P}_{2}}$=(1+sinθ,1-cosθ)(O為原點(diǎn),θ∈R),則向量$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}$的長(zhǎng)度的最大值是( 。
A.$\sqrt{2}$B.2$\sqrt{2}$C.3$\sqrt{2}$D.4$\sqrt{2}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

11.已知數(shù)列$\sqrt{2},\sqrt{5},2\sqrt{2},\sqrt{11}$…,則2$\sqrt{5}$是這個(gè)數(shù)列的( 。
A.第6項(xiàng)B.第7項(xiàng)C.第11項(xiàng)D.第19項(xiàng)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案