Question

15．如圖，PA是圓O的切線，切點(diǎn)為A，過PA的中點(diǎn)M作割線交圓O于點(diǎn)B，C，連接PC交圓于點(diǎn)E，連接PB．
（1）求證：△PMB∽△CMP；
（2）若PM=PE=2，求CE的長．

Answer 1

分析 （1）由PA為圓O的切線，MC為割線，得MA²=MB•MC，由M為PA的中點(diǎn)，得PM²=MB•MC，由此能推導(dǎo)出△PMB～△PMC；
（2）利用PA²=PE•PC，即可求CE的長．

解答 （1）證明：∵PA為圓O的切線，MC為割線，
∴MA²=MB•MC，
又∵M(jìn)為PA的中點(diǎn)，∴PM²=MB•MC，
∴$\frac{PM}{MC}=\frac{MB}{PM}$，
又∵∠PMB=∠PMC，
∴△PMB～△PMC，
（2）解：∵PA為圓O的切線，PC為割線，
∴PA²=PE•PC，
∵M(jìn)為PA的中點(diǎn)，PM=PE=2，
∴4²=2•（2+CE），
∴CE=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形相似的證明，考查切割線定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，注意切割線定理的合理運(yùn)用．