Question

13．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）與拋物線y²=8x有一個公共的焦點F，且兩曲線的一個交點為P，若|PF|=5，則雙曲線的漸近線方程為（　　）

• A． x±$\sqrt{3}$y=0
• B． $\sqrt{3}$x±y=0
• C． x±2y=0
• D． 2x±y=0

Answer 1

分析 由拋物線y²=8x得出其焦點坐標，由|PF|=5結(jié)合拋物線的定義得出點P的坐標，代入雙曲線的方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0），從而得到關(guān)于a，b 的方程，求出a，b的值，進而求出雙曲線的漸近線方程．

解答 解：由于雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0）與拋物線y²=8x有一個公共的焦點F，且拋物線y²=8x得出其焦點坐標（2，0），
故雙曲線的半焦距c=2，又|PF|=5，設(shè)P（m，n），
由拋物線的定義知|PF|=m+2，
∴m+2=5，m=3，
∴點P的坐標（3，±$\sqrt{24}$）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+^{2}=4}\\{\frac{9}{{a}^{2}}-\frac{24}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=1}\\{^{2}=3}\end{array}\right.$，
則雙曲線的漸近線方程為$\sqrt{3}x±y=0$．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的定義和雙曲線的標準方程，以及雙曲線、拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，求出a，b的值是解題的關(guān)鍵，是中檔題．