Question

9．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{m}$-$\frac{{y}^{2}}{n}$=1，曲線f（x）=e^x在點（0，1）處的切線方程為2mx-ny+1=0，則該雙曲線的漸近線方程為（　　）

• A． y=±$\sqrt{2}$x
• B． y=±2x
• C． y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x
• D． y=±$\frac{1}{2}$x

Answer 1

分析 求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義建立方程組關系求出m，n的值，利用雙曲線的漸近線的性質進行求解即可．

解答 解：∵（x）=e^x，
∴f′（x）=e^x，
則f′（0）=e⁰=1，
則曲線f（x）=e^x在點（0，1）處的切線方程為y-1=x，即x-y-1=0，
∵f（x）=e^x在點（0，1）處的切線方程為2mx-ny+1=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2m=1}\\{-n=-1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{2}}\\{n=1}\end{array}\right.$，
則雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{2}}-\frac{{y}^{2}}{1}=1$，
則雙曲線的漸近線方程為y=$±\sqrt{2}$x，
故選：A．

點評 本題主要考查雙曲線漸近線的求解，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出參數(shù)m，n的值是解決本題的關鍵．