Question

3．正四棱錐的一個(gè)對(duì)角截面與一個(gè)側(cè)面的面積比為$\sqrt{6}$：2，則其側(cè)面與底面的夾角為（　　）

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{6}$
• D． $\frac{π}{12}$

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)點(diǎn)O是底面正方形ABCD的中心，則OP⊥平面ABCD．設(shè)AB=2x，OP=h．取AB的中點(diǎn)E，連接OE，EP．則∠OEP是側(cè)面與底面所成的二面角的平面角．由由題意可得：$\frac{\frac{1}{2}×2\sqrt{2}x•h}{\frac{1}{2}×\sqrt{{x}^{2}+{h}^{2}}•2x}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，化簡(jiǎn)再利用直角三角形的邊角關(guān)系即可得出．

解答 解：如圖所示，設(shè)點(diǎn)O是底面正方形ABCD的中心，連接OP，則OP⊥平面ABCD．
設(shè)AB=2x，OP=h．取AB的中點(diǎn)E，連接OE，EP．
則∠OEP是側(cè)面與底面所成的二面角的平面角．
由由題意可得：$\frac{\frac{1}{2}×2\sqrt{2}x•h}{\frac{1}{2}×\sqrt{{x}^{2}+{h}^{2}}•2x}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
化為：$h=\sqrt{3}x$．
∴tan∠OEP=$\frac{h}{x}$=$\sqrt{3}$．
∴∠OEP=$\frac{π}{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正四棱錐的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系、空間角、三角形的面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．