Question

10．已知數(shù)列{a_n}中，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$（n∈N^*），若a₇=$\frac{1}{2}$，則a₅=1．

Answer 1

分析 把已知數(shù)列遞推式取倒數(shù)，可得數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是公差為$\frac{1}{2}$的等差數(shù)列，然后由等差數(shù)列的通項公式結(jié)合已知求得a₅．

解答 解：由a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$，得$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{2}$．
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是公差為$\frac{1}{2}$的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{7}}=\frac{1}{{a}_{5}}+2×\frac{1}{2}$，則2=$\frac{1}{{a}_{5}}+1$，得a₅=1．
故答案為：1．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，是中檔題．