Question

15．下列函數(shù)中，最小值為4的是（　�。�

• A． y=$\frac{x}{2}$+$\frac{8}{x}$
• B． y=sinx+$\frac{4}{sinx}$（0＜x＜π）
• C． y=e^x+4e^-x
• D． y=$\sqrt{{x}^{2}+1}$+$\frac{2}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$

Answer 1

分析 根據(jù)基本不等式的口訣：一正二定三相等，對各個(gè)選項(xiàng)逐一化簡判斷即可．

解答 解：A、當(dāng)x＞0時(shí)，$\frac{x}{2}+\frac{8}{x}$≥2$\sqrt{\frac{x}{2}•\frac{8}{x}}$=4，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{x}{2}=\frac{8}{x}$時(shí)取等號，
當(dāng)x＜0時(shí)，$\frac{x}{2}+\frac{8}{x}$≤-4，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{x}{2}=\frac{8}{x}$時(shí)取等號，A錯(cuò)誤；
B、當(dāng)0＜x＜π時(shí)，sinx＞0，y=sinx+$\frac{4}{sinx}$≥2$\sqrt{sinx•\frac{4}{sinx}}$=4，
當(dāng)且僅當(dāng)sinx=$\frac{4}{sinx}$時(shí)取等號，此時(shí)sinx=2，由sinx≤1知，B不正確；
C、y=e^x+4e^-x≥2$\sqrt{{e}^{x}•4{e}^{-x}}$=4，
當(dāng)且僅當(dāng)e^x=4e^-x，即e^x=2時(shí)取最小值4，C正確；
D、y=$\sqrt{{x}^{2}+1}+\frac{2}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$≥2$\sqrt{\sqrt{{x}^{2}+1}•\frac{2}{\sqrt{{x}^{2}+1}}}$=$2\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\sqrt{{x}^{2}+1}=\frac{2}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$時(shí)取等號，函數(shù)的最小值是$2\sqrt{2}$，D錯(cuò)誤．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了基本不等式在求最值中的應(yīng)用，牢記“一正二定三相等”是解題的關(guān)鍵，考查了化簡、變形能力．