Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-ln（x+1）
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）證明：e+e

1

2

+e

1

3

+…+e

1

n

≥ln(n+1)(n∈N*，e為常數(shù))．

Answer 1

x＞-1，f′（x）=e^x-

1

x+1

．
（I）由于f′（x）=e^x-

1

x+1

在（-1，+∞）上是增函數(shù)，且f′（0）=0，
∴當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f′（x）＜0，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間（0，+∞），函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間（-1，0）．
（II）由（I）知當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取得最小值，即f（x）≥1，
∴e^x-ln（x+1）≥1，即e^x≥ln（x+1）+1，
取x=

1

n

，則e

1

n

≥ln(

1

n

+1)+1=ln(n+1)-lnn+1，
于是e≥ln2-ln1+1，
e

1

2

≥ln3-ln2+1，
e

1

3

≥ln4-ln3+1，
…
e

1

n

≥ln（n+1）-lnn+1．
相加得，e+e

1

2

+e

1

3

+…+e

1

n

≥ln(n+1)(n∈N*，e為常數(shù))，得證．