Question

13．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知b+c=2acosB．
（Ⅰ）證明：A=2B；
（Ⅱ）若△ABC的面積S=$\frac{a^2}{4}$，求角A的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理，結(jié)合和角的正弦公式，即可證明A=2B
（Ⅱ）若△ABC的面積S=$\frac{a^2}{4}$，則$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{a^2}{4}$，結(jié)合正弦定理、二倍角公式，即可求角A的大小．

解答 （Ⅰ）證明：∵b+c=2acosB，
∴sinB+sinC=2sinAcosB，
∴sinB+sin（A+B）=2sinAcosB
∴sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB
∴sinB=sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B）
∵A，B是三角形中的角，
∴B=A-B，
∴A=2B；
（Ⅱ）解：∵△ABC的面積S=$\frac{a^2}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{a^2}{4}$，
∴2bcsinA=a²，
∴2sinBsinC=sinA=sin2B，
∴sinC=cosB，
∴B+C=90°，或C=B+90°，
∴A=90°或A=45°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理，解三角形，考查三角形面積的計(jì)算，考查二倍角公式的運(yùn)用，屬于中檔題．