Question

設(shè)x₁=x₂=1，x₃=2，x_n=（n-1）（x_n-1-x_n-2）（n≥4），求通項(xiàng){x_n}．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：計(jì)算題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：求出x4，x5，猜測(cè)x_n=

1，n=1 n-1，n≥2

．再用數(shù)學(xué)歸納法證明，注意步驟的完整性，特別是n=k+1要運(yùn)用假設(shè)．

解答： 解：∵x₁=x₂=1，x₃=2，x_n=（n-1）（x_n-1-x_n-2）（n≥4），
∴x₄=3（x₃-x₂）=3×（2-1）=3，x₅=4（x₄-x₃）=4，
…，
猜測(cè)x_n=

1，n=1 n-1，n≥2

．
下面證明：n=1，x₁=1，n≥2顯然當(dāng)n=2，x₂=2-1=1成立；
假設(shè)當(dāng)n=k，是x_k=k-1成立，
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，x_k+1=（k+1-1）（x_k-x_k-1）=k，也成立．
∴x_n=

1，n=1 n-1，n≥2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，先用不完全歸納法，猜測(cè)得到通項(xiàng)，再運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明，考查推理能力，屬于中檔題．