Question

17．已知f₁（x）=sinx+cosx，f_n+1（x）是f_n（x）的導(dǎo)函數(shù)，即f₂（x）=f₁′（x），f₃（x）=f₂′（x），…，f_n+1（x）=f_n′（x），n∈N^*，則f₂₀₁₅（x）=-sinx-cosx．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)f_n′（x）的周期性即可．

解答 解：∵f₁（x）=sinx+cosx，
∴f₂（x）=f₁′（x）=cosx-sinx，
f₃（x）=f₂′（x）=-sinx-cosx，
f₄（x）=f₃′（x）=-cosx+sinx，
f₅（x）=f₄′（x）=sinx+cosx，
…，
f_n+4′（x）=f_n′（x），
即f_n′（x）是周期為4的周期函數(shù)，
f₂₀₁₅（x）=f₂₀₁₄′（x）=f₂′（x）=-sinx-cosx，
故答案為：-sinx-cosx

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式求出函數(shù)的周期性是解決本題的關(guān)鍵．