Question

7．幾何體的俯視圖為一邊長為2的正三角形，則該幾何體的各個面中，面積最大的面的面積為（　　）

• A． 3
• B． $\sqrt{6}$
• C． 2
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由三視圖知該幾何體是一個直三棱柱沿截面切去上面幾何體所剩下的四棱錐，由三視圖求出幾何元素的長度，由條件和面積公式求出棱長，求出其中較大面的面積，比較出該幾何體的各個面中面積最大的面，即可得到答案．

解答 解：由三視圖知幾何體是：
一個直三棱柱沿截面ABC切去上面幾何體所剩下的四棱錐C-ABDE，
直觀圖如圖所示：B是棱的中點，
且三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，高是2，
由勾股定理得，AB=BC=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，AC=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{5-2}$=$\sqrt{6}$，
∵梯形ABDE的面積S′=$\frac{1}{2}×（1+2）×2$=3＞$\sqrt{6}$，
∴該幾何體的各個面中面積最大的面是平面ABDE，
最大的面的面積是3，
故選：A．

點評 本題考查三視圖求幾何體的表面積，由三視圖正確復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力．