Question

17．已知關(guān)于x的不等式ax²+bx+c＞0的解集為-$\frac{1}{2}$＜x＜1，求下列關(guān)于x不等式約解集：
（1）cx²+bx+a＜0；
（2）ax²-bx+c＜0；
（3）cx²-bx+a＜0．

Answer 1

分析 根據(jù)一元二次不等式與對(duì)應(yīng)的一元二次方程之間的關(guān)系，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，求出本題的答案來(lái)

解答 解：∵關(guān)于x的不等式ax²+bx+c＞0的解集為-$\frac{1}{2}$＜x＜1，
∴a＜0，-$\frac{1}{2}$+1=-$\frac{a}$，-$\frac{1}{2}$×1=$\frac{c}{a}$，
即b=-$\frac{1}{2}$a，c=-$\frac{1}{2}$a，
（1）cx²+bx+a＜0，即為-$\frac{1}{2}$ax²-$\frac{1}{2}$ax+a＜0，即x²+x-2＜0，即（x+2）（x-1）＜0，解得-2＜x＜1，故不等式的解集為（-2，1），
（2）ax²-bx+c＜0；即為ax²+$\frac{1}{2}$ax-$\frac{1}{2}$a＜0，即2x²+x-1＞0，即（2x-1）（x+1）＞0，解得x＜-1或x＞$\frac{1}{2}$，故不等式的解集為（-∞，-1）∪（$\frac{1}{2}$，+∞），
（3）cx²-bx+a＜0．即為-$\frac{1}{2}$ax²+$\frac{1}{2}$ax+a＜0，即x²-x-2＜0，即（x-2）（x+1）＜0，解得-1＜x＜2，故不等式的解集為（-1，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．