Question

7．已知函數(shù)f（x）=（x-k）e^x．
（Ⅰ）當(dāng)k=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值．

Answer 1

分析 （I）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于零，解方程，跟據(jù)f′（x）f（x）隨x的變化情況即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，對(duì)k-1是否在區(qū)間[0，1]內(nèi)進(jìn)行討論，從而求得f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值．

解答 解：（Ⅰ）k=1時(shí)，f（x）=（x-1）e^x，
f′（x）=xe^x，
令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，
∴f（x）在（-∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增；
（Ⅱ）f′（x）=（x-k+1）e^x，
令f′（x）=0，得x=k-1，
f′（x）f（x）隨x的變化情況如下：

x	（-∞，k-1）	k-1	（k-1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓	-ek-1	↑

∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，k-1），f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間（k-1，+∞）；
當(dāng)k-1≤0，即k≤1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，
∴f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值為f（0）=-k；
當(dāng)0＜k-1＜1，即1＜k＜2時(shí)，由（I）知，f（x）在區(qū)間[0，k-1]上單調(diào)遞減，f（x）在區(qū)間（k-1，1]上單調(diào)遞增，
∴f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值為f（k-1）=-e^k-1；
當(dāng)k-1≥1，即k≥2時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞減，
∴f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值為f（1）=（1-k）e；
綜上所述f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{-k，k≤1}\\{{-e}^{k-1}，1＜k＜2}\\{（1-k）e，k≥2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 此題是個(gè)中檔題．考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，對(duì)方程f'（x）=0根是否在區(qū)間[0，1]內(nèi)進(jìn)行討論，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的思想方法，增加了題目的難度．