已知f0（x）=sinx，若f1(x)=
f
′
0
(x)，f2(x)=
f
′
1
(x)，f3(x)=
f
′
2
(x)，…，fn+1(x)=
f
′
n
(x)（n∈N），則
f
 
2011
(
16π
3
)=
3
2
3
2
．
分析：先求出f1（x）、f2（x）、f3（x）…，觀察所求的結(jié)果，歸納其中的周期性規(guī)律，求解即可．
解答：解：f1(x)=
f
′
0
(x)=cosx，
f2(x)=
f
′
1
(x)=-sinx，
f3(x)=
f
′
2
(x)=-cosx，
f4（x）=sinx=f0（x）
以此類推，可得出fn（x）=fn+4（x），n為自然數(shù)．
f2011（x）=f4×502+3（x）=f2（x）=-sinx．
所以
f
 
2011
(
16π
3
)=-sin
16π
3
=-sin（4π+
4π
3
）=-sin
4π
3
=
3
2

故答案為：
3
2
點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算，合情推理的運(yùn)用．易錯點(diǎn)容易認(rèn)為f2011（x）=f4×502+3（x）=f3（x）=-cosx．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f0（x）=cosx-sinx，且f1（x）=f′0（x），f2（x）=f′1（x），…，fn（x）=f′n-1 （x）則
f2012（x）=
cosx-sinx
cosx-sinx
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•南寧二模）已知f（x）=sinx，g（x）=cosx，則有[f（x）]2+[g（x）]2=1，f（2x）=2f（x）g（x），類比上列，若設(shè)f（x）=
ex- e-x
2
，g（x）=
ex+ e-x
2
，則可得到f（x）與g（x）的一個關(guān)系式是
f（2x）=2f（x）g（x）
f（2x）=2f（x）g（x）
．（只須寫出一種即可）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

已知f0（x）=sinx，若數(shù)學(xué)公式，數(shù)學(xué)公式，數(shù)學(xué)公式，…，數(shù)學(xué)公式（n∈N），則數(shù)學(xué)公式=________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知f0（x）=cosx-sinx，且f1（x）=f′0（x），f2（x）=f′1（x），…，fn（x）=f′n-1 （x）則
f2012（x）=______．

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