Question

已知f（x）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)，且f（x）+g（x）=2log₂（1-x）．
（1）求f（x）及g（x）的解析式；
（2）求g（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的值域,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意和函數(shù)奇偶性得：f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），令x取-x代入f（x）+g（x）=2log₂（1-x）化簡(jiǎn)后，聯(lián)立原方程求出f（x）和g（x），由對(duì)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的定義域；
（2）設(shè)t=1-x²，由-1＜x＜1得0＜t≤1，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出g（x）的值域．

解答： 解：（1）因?yàn)閒（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，
所以f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），
令x取-x代入f（x）+g（x）=2log₂（1-x），①
得f（-x）+g（-x）=2log₂（1+x），即-f（x）+g（x）=2log₂（1+x），②
聯(lián)立①②可得，f（x）=log₂（1-x）-log₂（1+x）=

log

1-x 1+x 2

（-1＜x＜1），
g（x）=log₂（1-x）+log₂（1+x）=log₂（1-x）（1+x）=

log

(1-x2) 2

（-1＜x＜1）；
（2）設(shè)t=1-x²，由-1＜x＜1得0＜t≤1，
所以函數(shù)y=log₂t的值域是（-∞，0]，
故g（x）的值域是（-∞，0]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算，以及方程思想和換元法求函數(shù)的值域．