Question

7．如圖：三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，BC⊥AC，M是AB上的動點，CB=CA=CC₁=2．
（Ⅰ）若點M是AB中點，證明：平面MCC₁⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）判斷點M到平面A₁B₁C的距離是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出CM⊥AB，CM⊥AA₁，從而CM⊥平面ABB₁A₁，由此能證明平面MCC₁⊥平面ABB₁A₁．
（Ⅱ）推導(dǎo)出AB∥平面A₁B₁C，從而點M到平面A₁B₁C的距離是定值，令點M平分AB，作A₁B₁的中點M₁，過M作MO⊥CM₁，垂足為O，推導(dǎo)出MO是點M到平面A₁B₁C的距離，由此能示出點M到平面A₁B₁C的距離．

解答 證明：（Ⅰ）∵BC=AC，M是AB中點，∴CM⊥AB，
∵AA₁⊥平面ABC，CM?平面圖ABC，∴CM⊥AA₁，
∵AB?平面ABB₁A₁，AA₁?平面ABB₁A₁，且AB∩AA₁=A，
∴CM⊥平面ABB₁A₁，
∵CM?平面MCC₁，
∴平面MCC₁⊥平面ABB₁A₁．
解：（Ⅱ）∵AB∥A₁B₁，A₁B₁?平面A₁B₁C，AB?平面A₁B₁C，
∴AB∥平面A₁B₁C，
∴點M到平面A₁B₁C的距離是定值，
令點M平分AB，作A₁B₁的中點M₁，
連結(jié)MM₁，C₁M₁，CM₁，
過M作MO⊥CM₁，垂足為O，
由題意知C、M、M₁、C₁共面，
∵AB⊥平面MCC₁M₁，AB∥A₁B₁，
∴A₁B₁⊥平面MCC₁M₁，
∵MO?平面MCC₁M₁，∴A₁B₁⊥MO，
又∵MO⊥CM₁，CM₁?平面A₁B₁C，A₁B₁?平面A₁B₁C，
∴MO⊥平面A₁B₁C，即MO是點M到平面A₁B₁C的距離，
∵CB=CA=CC₁=2，BC⊥AC，∴AB=$\sqrt{C{A}^{2}+C{B}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴CM=$\sqrt{B{C}^{2}-B{M}^{2}}$=$\sqrt{2}$，∴CM₁=$\sqrt{C{M}^{2}+M{{M}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∵$\frac{1}{2}•MO•C{M}_{1}$=$\frac{1}{2}•CM•M{M}_{1}$，∴$\overrightarrow{MO}$=$\frac{\sqrt{2}•2}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴點M到平面A₁B₁C的距離為定值$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查點到面的距離是否是定值的判斷與求法，考查空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、數(shù)據(jù)處理能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．