Question

5．以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=$\sqrt{2}$，點(diǎn)M的極坐標(biāo)為（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）．
（1）寫(xiě)出曲線C的參數(shù)方程，并求曲線C在點(diǎn)（1，1）處的切線的極坐標(biāo)方程；
（2）若點(diǎn)N為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求|MN|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=$\sqrt{2}$，化為直角坐標(biāo)方程：x²+y²=2．設(shè)曲線C在點(diǎn)（1，1）處的切線的方程為y=k（x-1）+1．利用圓的切線的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式即可得出．再化為極坐標(biāo)方程即可得出．
（2）點(diǎn)M的極坐標(biāo)為（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），可得|OM|=2$\sqrt{2}$．即可得出|MN|的取值范圍是[|OM|-r，|OM|+r]．

解答 解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=$\sqrt{2}$，化為直角坐標(biāo)方程：x²+y²=2．
設(shè)曲線C在點(diǎn)（1，1）處的切線的方程為y=k（x-1）+1．
則$\frac{|1-k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，化為：（k+1）²=0，解得k=-1．
∴切線方程為：x+y-2=0．
化為極坐標(biāo)方程：ρcosθ+ρsinθ=2．
（2）點(diǎn)M的極坐標(biāo)為（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），∵|OM|=2$\sqrt{2}$．
∴|MN|的取值范圍是$[\sqrt{2}，3\sqrt{2}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線與圓相切的充要條件、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．