Question

16．已知函數(shù)y=$\frac{sinθcosθ}{2+sinθ+cosθ}$．
（1）設(shè)變量t=sinθ+cosθ，試用t表示y=f（t），并寫出t的范圍；
（2）求函數(shù)y=f（t）的值域．

Answer 1

分析 （1）由t=$\sqrt{2}$sin（t+$\frac{π}{4}$）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求t的范圍，平方后利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinθcosθ=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，進而即可用t表示y=f（t）．
（2）由y=$\frac{{t}^{2}-1}{4+2t}$=$\frac{1}{2}$[（t+2）+$\frac{3}{t+2}$-4]，利用基本不等式即可求其最小值，進而求得最大值即可得解函數(shù)y=f（t）的值域．

解答 解：（1）∵t=sinθ+cosθ，
∴t=sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
∴t²=sin²θ+cos²θ+2sinθcosθ=1+2sinθcosθ，
∴sinθcosθ=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
∴y=$\frac{sinθcosθ}{2+sinθ+cosθ}$=$\frac{\frac{{t}^{2}-1}{2}}{2+t}$=$\frac{{t}^{2}-1}{4+2t}$，t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]．
（2）∵y=$\frac{{t}^{2}-1}{4+2t}$=$\frac{1}{2}×$（$\frac{{（t}^{2}-4）+3}{t+2}$）=$\frac{1}{2}$[（t+2）+$\frac{3}{t+2}$-4]，
∵t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]．
∴t+2∈[2-$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$]．
∴（t+2）+$\frac{3}{t+2}$$≥2\sqrt{（t+2）•\frac{3}{t+2}}$=2$\sqrt{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)（t+2）=$\frac{3}{t+2}$，即t+2=$\sqrt{3}$時取等號．
∵t+2∈[2-$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$]．
∴函數(shù)的最小值為$\frac{1}{2}$[2$\sqrt{3}$-4]=$\sqrt{3}-2$．
當(dāng)t=-$\sqrt{2}$時，f（-$\sqrt{2}$）=$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$，
t=$\sqrt{2}$時，f（$\sqrt{2}$）=$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$，
∴函數(shù)的最大值為$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$，
故函數(shù)y=f（t）的值域為：[$\sqrt{3}-2$，$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$]．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．