Question

15、如圖，三棱錐V-ABC中，VA⊥底面ABC，∠ABC=90°．
（1）求證：V、A、B、C四點(diǎn)在同一球面上；
（2）過(guò)球心作一平面與底面內(nèi)直線AB垂直，求證：此平面截三棱錐所得的截面是矩形．

Answer 1

分析：（1）利用直角三角形斜邊中點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離相等，且直角三角形VAB和VBC有公共斜邊．
（2）取AC、AB、VB的中點(diǎn)分別為N、P、Q，證明截面MNPQ是矩形．

解答：證明：（1）取VC的中點(diǎn)M，
∵VA⊥底面ABC，∠ABC=90°，
∴BC⊥VB．在Rt△VBC中，M為斜邊VC的中點(diǎn)，
∴MB=MC=MV．同理，在Rt△VAC中，MA=MV=MC．
∴MV=MC=MA=MB．
∴V、A、B、C四點(diǎn)在同一圓面上，M是球心．
（2）取AC、AB、VB的中點(diǎn)分別為N、P、Q，
連接NP、PQ、QM、MN，則MNPQ就是垂直于AB的三棱錐V-ABC的截面，
易證PQMN是平行四邊形．又VA⊥BC，QP∥VA，NP∥BC，∴QP⊥PN．故截面MNPQ是矩形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直角三角形斜邊中點(diǎn)的性質(zhì)，及取中點(diǎn)利用三角形中位線的性質(zhì)的解題方法．