Question

如圖，三棱錐V-ABC中，AB=AC=VB=VC=

5

，BC=2，VA=2

2

．
（1）求證：面VBC⊥面ABC；
（2）求直線VC與平面ABC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）取BC的中點(diǎn)D，連接VD、AD，說明∠VDA為二面角面VBC與面ABC的平面角，證明∠VDA=90°．即可證明面VBC⊥面ABC．
（2）由（1）得VD⊥平面ABC，說明∠VCD為線VC與平面ABC所成的角，在Rt△VCD中，求出cos∠VCD，得到直線VC與平面ABC所成角的余弦值．

解答：解：（1）證明：取BC的中點(diǎn)D，連接VD、AD，
由已知得，△VBC為等腰三角形，BD=

1

2

BC=1，
∴有VD⊥BC，VD=

VB2-BD2

=2，
同理可得AD⊥BC，AD=2，
∴∠VDA為二面角面VBC與面ABC的平面角，
又△VAD中，AD=VD=2，VA=2

2

．
∴∠VDA=90°．
∴面VBC⊥面ABC．
（2）由（1）得VD⊥平面ABC，
∴CD為斜線VC在平面ABC上的射影，
∠VCD為線VC與平面ABC所成的角，
Rt△VCD中，VC=

5

，CD=

1

2

BC=1，
∴cos∠VCD=

CD

VC

=

5

5

．
∴直線VC與平面ABC所成角的余弦值為

5

5

．

點(diǎn)評：本題考查平面與平面垂直的證明方法，考查直線與平面所成角，考查空間想象能力．