Question

已知m，n是方程x²+（2-k）x+k²+3k+5=0（k∈R）的兩個(gè)實(shí)根，求m²+n²的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先利用韋達(dá)定理得出根與系數(shù)的關(guān)系，再將所求式變形，結(jié)合函數(shù)的判別式，確定函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)減函數(shù)，由此即可求得α²+β²的最大值，最小值．

解答： 解：∵m，n是方程x²+（2-k）x+k²+3k+5=0（k∈R）的兩個(gè)實(shí)根
∴m+n=k-2，mn=k²+3k+5
∴m²+n²=（m+n）²-2mn=（k-2）²-2（k²+3k+5）=-k²-10k-6=-（k+5）²+19
∵△=（k-2）²-4（k²+3k+5）=-3k²-16k-16≥0
∴-4≤k≤-

4

3

，
∴k=-4時(shí)，m²+n²取得最大，最大值為18，
k=-

4

3

時(shí)，m²+n²的最小值為

50

9

故答案為：18，

50

9

點(diǎn)評(píng)：本題考查根與系數(shù)關(guān)系的運(yùn)用，考查二次函數(shù)最值的研究，其中構(gòu)建函數(shù)，確定參數(shù)的范圍是解題的關(guān)鍵．