10.在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知直線l的極坐標(biāo)方程為:ρsinθ+ρcosθ=2,曲線C的極坐標(biāo)方程為:ρcos2θ=asinθ(a>0),曲線C與直線l的交點(diǎn)為M,N.
(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),求直線l和曲線C相交的弦長(zhǎng)|MN|;
(Ⅱ)若$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0,求△OMN的面積.

分析 (Ⅰ)化極坐標(biāo)方程為普通方程,當(dāng)a=1時(shí),直接求直線l和曲線C的解得坐標(biāo),然后求解弦長(zhǎng)|MN|;
(Ⅱ)聯(lián)立直線與拋物線方程,利用向量的數(shù)量積,求解弦長(zhǎng)MN,清楚圓心到直線的距離即可求解三角形的面積.

解答 解:(Ⅰ)直線l的極坐標(biāo)方程為:ρsinθ+ρcosθ=2,直線的普通方程為:x+y=2,
曲線C的極坐標(biāo)方程為:ρcos2θ=asinθ(a>0),它的普通方程為:ay=x2.當(dāng)a=1時(shí),
:x2+x-2=0,解得x=1或x=-2,曲線C與直線l的交點(diǎn)為M(-2,4),N
(1,1).
∴|MN|=$\sqrt{9+9}$=3$\sqrt{2}$…(5分)
(Ⅱ)把a(bǔ)y=x2代入可得直線l的普通方程x+y=2消去y得
:x2+ax-2a=0,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),x1+x2=-a,x1x2=-2a,則
y1y2=(-x1+2)(-x2+2)=4∴
$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0,∴x1x2+y1y2=-2a+4=0,解得a=2,
此時(shí)${x_1}+{x_2}=-2,{x_1}{x_2}=-4,|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{{{({{x_1}+{x_2}})}^2}-4{x_1}{x_2}}=2\sqrt{5}$.
|MN|=$\sqrt{2}$|x1-x2|=2$\sqrt{10}$.原點(diǎn)到直線的距離為:h=$\frac{|2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$.
∴S△0MN=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2\sqrt{10}$=2$\sqrt{5}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考試極坐標(biāo)與普通方程互化,直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查計(jì)算能力.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

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20.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=AD=AP=2CD=2,M是棱PB上一點(diǎn).
(Ⅰ)若BM=2MP,求證:PD∥平面MAC;
(Ⅱ)若平面PAB⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面ABCD,求證:PA⊥平面ABCD;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,若二面角B-AC-M的余弦值為$\frac{2}{3}$,求$\frac{PM}{PB}$的值.

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1.已知角α的正弦線和余弦線長(zhǎng)度相等,且α的終邊在第三象限,則tanα等于( 。
A.0B.1C.-1D.$\sqrt{3}$

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18.如圖,莖葉圖記錄了某城市甲、乙兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)連續(xù)三天觀測(cè)到的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI).乙觀測(cè)點(diǎn)記錄中有一個(gè)數(shù)字模糊無法確認(rèn),已知該數(shù)是0,1,…,9中隨機(jī)的一個(gè)數(shù),并在圖中以a表示.
(Ⅰ)若甲、乙兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)記錄數(shù)據(jù)的平均值相同,求a的值;
(Ⅱ)當(dāng)a=2時(shí),分別從甲、乙兩觀測(cè)點(diǎn)記錄的數(shù)據(jù)中各隨機(jī)抽取一天的觀測(cè)值,記這兩觀測(cè)值之差的絕對(duì)值為X,求|X|≤2的概率.

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5.已知$\overrightarrow a,\;\overrightarrow b$為同向單位向量,若$\overrightarrow a•\overrightarrow b=\frac{{1+4{k^2}}}{4k}$(k>0),則k=$\frac{1}{2}$.

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15.若b<a<0,則下列不等式一定成立的是( 。
A.a3<b3B.ab>b2C.ac2>bc2D.$\frac{1}{a}$<$\frac{1}$

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2.某用水量較大的企業(yè)為積極響應(yīng)政府號(hào)召的“節(jié)約用水,我們共同的責(zé)任”的倡議,對(duì)生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行技術(shù)改造,下表提供了該企業(yè)節(jié)約用水技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)用水y(噸)的幾組對(duì)照數(shù)據(jù):
x1234
y0.40.91.11.6
(1)若x,y之間是線性相關(guān),請(qǐng)根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù),求y關(guān)于x的線性回歸方程y=bx+a;
(2)已知該廠技術(shù)改造前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)用水為120噸,試根據(jù)(1)中求出的線性回歸方程,預(yù)測(cè)技術(shù)改造后生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的用水量比技術(shù)改造前減少了多少噸?
(參考公式:$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{1}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n\stackrel{-2}{x}}$,$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$)

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19.在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2}$-y2=1的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,點(diǎn)P(x0,y0),Q(x0,-y0)是雙曲線上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).
(1)求直線A1P與A2Q交點(diǎn)的軌跡E的方程;
(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)O作一條直線交軌跡E于A,B兩點(diǎn),過點(diǎn)B作x軸的垂線,垂足為點(diǎn)C,連AC交軌跡E于點(diǎn)D,求證:AB⊥BD.

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20.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx,其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)的部分值如表所示:
x-3-201348
f'(x)-24-10680-10-90
根據(jù)表中數(shù)據(jù),回答下列問題:
(Ⅰ)實(shí)數(shù)c的值為6;當(dāng)x=3時(shí),f(x)取得極大值(將答案填寫在橫線上).
(Ⅱ)求實(shí)數(shù)a,b的值.
(Ⅲ)若f(x)在(m,m+2)上單調(diào)遞減,求m的取值范圍.

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