Question

10．在平面直角坐標(biāo)系中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線l的極坐標(biāo)方程為：ρsinθ+ρcosθ=2，曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρcos²θ=asinθ（a＞0），曲線C與直線l的交點為M，N．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求直線l和曲線C相交的弦長|MN|；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，求△OMN的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化極坐標(biāo)方程為普通方程，當(dāng)a=1時，直接求直線l和曲線C的解得坐標(biāo)，然后求解弦長|MN|；
（Ⅱ）聯(lián)立直線與拋物線方程，利用向量的數(shù)量積，求解弦長MN，清楚圓心到直線的距離即可求解三角形的面積．

解答 解：（Ⅰ）直線l的極坐標(biāo)方程為：ρsinθ+ρcosθ=2，直線的普通方程為：x+y=2，
曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρcos²θ=asinθ（a＞0），它的普通方程為：ay=x²．當(dāng)a=1時，
：x²+x-2=0，解得x=1或x=-2，曲線C與直線l的交點為M（-2，4），N
（1，1）．
∴|MN|=$\sqrt{9+9}$=3$\sqrt{2}$…（5分）
（Ⅱ）把ay=x²代入可得直線l的普通方程x+y=2消去y得
：x²+ax-2a=0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），x₁+x₂=-a，x₁x₂=-2a，則
y₁y₂=（-x₁+2）（-x₂+2）=4∴
$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，∴x₁x₂+y₁y₂=-2a+4=0，解得a=2，
此時${x_1}+{x_2}=-2，{x_1}{x_2}=-4，|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=2\sqrt{5}$．
|MN|=$\sqrt{2}$|x₁-x₂|=2$\sqrt{10}$．原點到直線的距離為：h=$\frac{|2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴S_△0MN=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2\sqrt{10}$=2$\sqrt{5}$．

點評 本題考試極坐標(biāo)與普通方程互化，直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計算能力．