Question

某學生正確解答選擇題﹑填空題﹑解答題這三種題型的概率分別為0.6﹑0.5﹑0.5，且解答每種題型正確與否相互獨立，現在讓該生解選擇題﹑填空題﹑解答題各一個，并用ξ表示解對題的個數．
（Ⅰ）求該生至少解對一個題的概率．
（Ⅱ）求ξ的分布列和數字期望Eξ．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：：（Ⅰ）用 A₁、A₂、A₃分別表示該生解對選擇題、填空題、解答題的事件，由

.

A

=

.

A1

.

A2

.

A3

且A₁、A₂、A₃ 、

.

A1

、

.

A2

、

.

A3

相互獨立，能求出該生至少解對一個題的概率．
（Ⅱ）由題意知ξ=0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和數學期望Eξ．

解答： 解：（Ⅰ）用 A₁、A₂、A₃分別表示該生解對選擇題、填空題、解答題的事件，

.

A1

，

.

A2

，

.

A3

分別表示A₁、A₂、A₃ 的對立事件，
A表示該生至少解對一個題的事件，

.

A

表示A的對立事件．
∵

.

A

=

.

A1

.

A2

.

A3

且A₁、A₂、A₃ 、

.

A1

、

.

A2

、

.

A3

相互獨立 …1分
∴P(

.

A

)=P(

.

A1

.

A2

.

A3

)=P(

.

A1

)P(

.

A2

)P(

.

A3

)
=（1-0.6）（1-0.5）（1-0.5）=0.1 …3分
∴P(A)=1-P(

.

A

)=1-0.1=0.9，…5分
（Ⅱ）由題意知ξ=0，1，2，3  …6分
P（ξ=0）=0，P(

.

A

)=0.1  …7分
P(ξ=1)=P(A1

.

A2

.

A3

)+P(

.

A1

A2

.

A3

)+P(

.

A1

.

A2

A3)
=0．6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5=0.35 …8分
P(ξ=2)=P(A1A2

.

A3

)+P(

.

A1

A2A3)+P(A1

.

A2

A3)
=0．6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.4 …9分
P（ξ=3）=P（A₁A₂A₃）=0．6×0.5×0.5=0.15  …10分
∴ξ的分布列為：…11分

ξ	0	1	2	3
P	0.1	0.35	0.4	0.15

 ∴Eξ+0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6．…12分

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，解題時要認真審題，是中檔題．